图像处理2-1:坐标的空间变换

基本概念

几何变换又称橡皮膜变换,就像在一块 橡皮膜上印刷一幅图像,然后根据预定的一组规则拉伸该橡皮膜。

几何变换改变了图像中像素间的空间关系。 由两个基本操作组成:坐标的空间变换(坐标变换)和变换后坐标像素的灰度值(灰度插值)。

坐标变换

坐标变换函数通常用 $T{}$ 表示

例如

$$(x’+y’)=T{(x,y)}=(\frac x 2,\frac y2)$$

表示在两个方向上把原图像缩小一半。

##仿射变换

图像处理中常用的坐标变换是仿射变换。

一般形式如下:

$$\left[ \begin{matrix} x’ & y’ & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix} \right]T=\left[ \begin{matrix} x&y&1\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} t_{11}&t_{12}&0 \\ t_{21} & t_{22} & 0 \\ t_{31} &t_{32} &1\end{matrix} \right]$$

根据变换矩阵T 中的参数取值不同,实现尺度/旋转/平移等坐标变换

  • 恒等变换

    $x’=x$

    $y’=y$

    恒等变换即为原图

  • 平移变换

    $x’=C_{x}x$

    $y’=C_{y}y$

    放大与缩小

  • 旋转变换

    $x’=x\cdot cos( \theta)+y \cdot sin( \theta)$

    $y’=x\cdot(-sin( \theta))+y\cdot cos(\theta)$

    顺时针旋转$\theta$角度

  • 平移变换

    $x’=x+t_{x}$

    $y’=y+t_{y}$

仿射变换1

仿射变换2

前向映射和后向映射

  • 前向映射:

    $$(x’,y’)=T{(x,y}$$

  • 后向映射:

    $$(x,y)=T^{-1}{(x’,y’}$$

前向映射中的问题

  1. 浮点数坐标

    对于数字图像而言,像素坐标是用离散型的非负正 数表示的,但是通过映射函数变换后可能产生浮点数的坐标。

    可以用插值算法来处理在几何变换中 出现的浮点坐标像素,它可以通过一系列算法获得 浮点坐标像素的近似值。。

  2. 映射不完全

    指输入图像的像素总数小于输出图像的像素总数, 这会使得输出图像的部分像素与原始图像没有映射 关系。

    例如:

    映射不完全

  3. 映射重叠

    好几个像素点映射变换,取整以后,在同一个像素点上

    映射重叠

输出图像的每个像素都能通过映射找到输入图像对 应的位置,而不会产生映射不完全和映射重叠的现象。在实际处理中,基本是运用向后映射来进行图像的几何变换的.

后向映射中通过$T^{-1}$进行矩阵反变换后若有小数,可用灰度差值进行处理.